انتخاب و محاسبه حجم نمونه

سوالى که ممکن است در جریان تحقیق برای هر محقق پیش ‌آید، این است که چه تعداد از افراد جامعه مورد مطالعه را مى‌تواند به‌عنوان نمونه تعیین کند یا به‌عبارتى حجم و تعداد افراد نمونه چند نفر باید باشد تا محقق بتواند با اطمینان خاطر نتایج حاصل و شاخص‌هاى محاسبه شده را به جامعه مورد مطالعه تعمیم دهد.

بنابراین در طرح‌ریزی بررسی نمونه‌ای، اخذ تصمیم درباره حجم نمونه از نظر تامین دقت نتایج نمونه‌گیری و صرفه‌جویی در میزان وقت و هزینه آن از اهمیت خاصی برخوردار است. بدیهی است بزرگ بودن حجم نمونه موجب صرف هزینه و وقت زیاد و كوچك بودن آن موجب عدم دقت كافی برآوردگرهاست. غالبا برای اطمینان از اینكه حجم نمونه انتخابی بهترین انتخاب است، اطلاعات كافی در اختیار نیست. در نظریه نمونه‌گیری مراحل اصلی انتخاب حجم نمونه به شرح زیر است:

1) باید درباره انتظاری كه از نمونه داریم حكمی‌روشن داشته باشیم. این حكم ممكن است بر حسب تصمیم یا عملی باشد كه قرار است بعد از تعیین نتایج نمونه اخذ شود. مسؤولیت چارچوب‌بندی حكم به عهده افرادی است كه نتایج بررسی نمونه‌ای را به كار می‌برند. بنابراین خواسته‌های این افراد باید از صورت كیفی به‌صورت كمی درآید و با عدد بیان شود.

2) باید معادله‌ای یافت كه حجم نمونه را با تقریب مطلوب به نتایج نمونه مربوط كند. این معادله به محتوای حكم قسمت 1 درباره تقریب نتایج نمونه و به نوع نمونه‌گیری بستگی دارد. یكی از مزایای نمونه‌گیری احتمالی آن است كه ما را به تهیه این معادله قادر می‌سازد. در این معادله می‌توان از شرایطی نظیر هزینه و غیره نیز بهره برد.

3) در این معادله پارامترهای مجهول وجود دارند كه همان پارامترهای مجهول جامعه‌اند. این پارامترها را باید به‌گونه‌ای برآورد كرد. معمولا قبل از انجام نمونه‌گیری اصلی كه بعد از تعیین حجم نمونه صورت می‌گیرد با نمونه‌ای مقدماتی به حجم كم، این پارامترها را برآورد می‌كنند.

4) اگر جامعه به رده‌هایی تقسیم شده باشد و حدود خطای نتایج یا احكام مربوط برای هر رده معلوم و متفاوت باشد، برای هر رده محاسبه حجم نمونه جداگانه انجام و حجم نمونه كلی از مجموع آنها به‌دست می‌آید.

5) غالبا در یك بررسی نمونه‌ای معمولا بیش از یك مشخصه را اندازه‌گیری می‌كنند كه گاه تعداد مشخصه‌ها زیاد است. اگر درجه دقت مطلوب برای مشخصه‌ها متفاوت باشد، برای هر مشخصه، حجم نمونه‌ای به‌دست می‌آید. در این صورت باید روشی برای تلفیق این حجم نمونه‌ها را در نظر گرفت. معمولا حجم نمونه كلی را برابر با بزرگ‌ترین حجم نمونه حاصل از حجم نمونه‌های مشخصه‌ها می‌گیرند.

محاسبه حجم نمونه

غالباً مايليم خطاي نسبي r مربوط به ميانگين نمونه‌اي را كنترل كنيم. در جامعه به حجم N كه ميانگين نمونه  و ميانگين جامعه است، مي‌خواهيم  را به گونه‌اي تعيين كنيم كه به فرمول مقابل برسیم:

كه در آن a احتمال بسيار كوچكي است كه بر حسب دقت مورد نياز از قبل تعيين مي‌شود. در واقع بايدn را طوري انتخاب كنيم كه

اگر توزيع yn را نرمال فرض كنيم، با توجه به

رابطه (S انحراف معيار جامعه است)داريم:

يا

اما  از توزيع نرمال استاندارد پيروي مي‌كند. حال اگر مقداري از متغير نرمال استاندارد را كه متناظر با احتمال 2/a-1 است از جدول توزيع نرمال به‌دست آوريم و آن را T بناميم، آنگاه
يا

با حل اين معادله نسبت به داريم:

اگر N بزرگ باشد مي‌توان از فرمول زير استفاده كرد:

كه در آن  با ادغام دو رابطه1 و2 داريم:

دركاربرد S و yn را نداريم. لذا ابتدا نمونه‌اي مقدماتي به حجم را كه متناسب با بودجه نمونه‌گيري مشخص مي‌شود، انتخاب مي‌كنيم و از روي آن برآوردهاي S و yn را به‌صورت زیر و به‌دست مي‌آوريم. آنگاه برآورد حجم نمونه‌اي را كه بايد براي تامين هدف‌هاي بررسي نمونه‌اي گرفته شود، تعيين مي‌كنيم: